Les fractions

Idées personnelles sur les fractions. Sinon il y a l’article WP.

Nature

Une fraction est à la fois l’écriture d’une division (numérateur par dénominateur) et le résultat de cette division (donc un nombre). On peut inclure un éventuel signe.

Exemples : $\frac{3}{5}$ ; $\frac{18}{4}$ ; $-\frac{2}{3}$ ; $\frac{5}{1}$ ; $\frac{24}{2}$ .

Remarque : $n=\frac{n}{1}$.

On peut passer de fraction à nombre (toujours) ou de nombre à fraction (pas toujours).

Fraction irréductible

…TODO…

Égalité

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ est une autre façon de dire que les quatre nombres sont proportionnels. Il est donc équivalent de dire :

• $\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$
• un des quatre moyen de trouver un des quatre nombres (lien avec les équations)
• $ad=bc$

Opérations

+, -, ×, ÷, opposé, inverse

Addition

Pour pouvoir ajouter les numérateurs, il faut que les deux fractions aient les mêmes dénominateurs. Au pire :

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+cb}{bd}$

Soustraction

La soustraction n’est que l’addition de l’opposé !

Opposé

L’opposé du nombre $a$ est le nombre $b$ tel que $a+b=0$. Pour trouver l’opposé d’un nombre, on met un signe moins devant, ou on peut l’enlever s’il y en a un.

C’est une involution.

Produit

$\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$

Remarque : « deux tiers de $x$ » se calcule avec une multiplication : $\frac{2}{3}\times x$. Autrement dit, on « applique » une fraction avec la multiplication.

Inverse

L’inverse du nombre non nul $a$ est le nombre $b$ tel que $a\times b=1$. Pour trouver l’inverse d’un nombre, on le met au dénominateur de la fraction $\frac{1}{\dots }$, ou on le sort d’ici s’il y est.

C’est une involution.

Exemples :

• L’inverse de 2 est $\frac{1}{2}$ c’est-à-dire 0,5. En effet, $\frac{1}{2}\times 2=1$.
• L’inverse de $\frac{3}{7}$ est $\frac{7}{3}$. En effet, $\frac{3}{7}\times \frac{7}{3}=\frac{21}{21}=1$.

Division

La division n’est que la multiplication par l’inverse !

$\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}$ $a÷\frac{b}{c}=\frac{a}{1}\times \frac{c}{b}=\frac{ac}{b}$ $\frac{a}{b}÷c=\frac{a}{b}\times \frac{1}{c}=\frac{a}{bc}$

Priorités

Il faut garder en tête que c’est une division, mais il faut dessiner les barres aux bons endroits pour les fractions à étage (aussi s’il n’y a pas plusieurs étages).

D’une part $\frac{\frac{2}{2}}{2}=\frac{1}{2}$ et d’autre part $\frac{2}{\frac{2}{2}}=\frac{2}{1}=2$.

Compatibilités

$\frac{AB}{C}=A\times \frac{B}{C}$