Puissances

Pour simplifier, on travaille ici avec les puissances de 10.

Produit de puissances

On a pour tous entiers naturels non nuls $a$ et $b$ : $10^a\times 10^b=(10\times 10\times \dots \times 10)\times (10\times 10\times \dots \times 10)=10^{a+b}$

Si on veut étendre cette formule aux entiers naturels possiblement nuls, on doit prendre $10^0=1$. En effet, en écrivant l’égalité ci-dessus avec $b=0$, on a à droite $10^{a+0}=10^a$ et à gauche $10^a\times 10^0$ donc la seule valeur possible pour $10^0$ est 1.

Si on veut étendre cette formule aux entiers négatifs, on doit prendre pour $10^{-a}$ l’inverse de $10^a$. En effet, on aurait pour $b=-a$ : $10^a\times 10^{-a}=10^{a+(-a)}=10^0=1$

Qui au passage donne aussi que l’inverse de $10^{-a}$ est $10^a$.

En résumé : $10^a\times 10^b=10^{a+b}$ $10^0=1$ $10^{-a}=\frac{1}{10^a}$ $\frac{1}{10^{-a}}=10^a$

Puissances de puissances

Pour tous entiers relatifs $a$ et $b$, on a : $(10^a{)}^b=10^{a\times b}$

Exercices

Donner l’écriture décimale des nombres suivants : $10^5$ ; $10^{-2}$ ; $10^0$ ; $10^1$ ; $10^{-1}$ .

Écrire les nombres suivants avec une puissance de 10 : $\frac{1}{1000}$ ; 0,000001 ; 10000 ; 1 ; 10.

Même question : $10^{-5}\times 10^3$ ; $\frac{10^2}{10^4}$ ; $(10^{-2}{)}^3$ ; $\frac{10^2}{10^{-4}}$ ; $\frac{10^2\times 10^{-4}}{(10^5{)}^{-2}}$.

Donner l’écriture scientifique des nombres suivants : 312 ; 5315,78 ; 0,0000312 ; 0,007.