Racines

Racine carrée

Voici trois opérations (ou fonctions) : ajouter 12, multiplier par 3, mettre au carré. Pour chacune d’elle, quelle est l’opération inverse ? Autrement dit, si le résultat est 16, quel était le nombre de départ ?

Pour le carré, il y a deux solutions : 4 et -4.

Pour tout nombre $a$ positif, $\sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$.

Autrement dit on a pour $a$ positif : $(\sqrt{a}{)}^2=a$.

Mais on a aussi $\sqrt{a^2}=a$, pourquoi ? Et si $a$ est négatif, que peut-on dire de $\sqrt{a^2}$ ?

Relations avec les autres opérations

Pour tous nombres $a$ et $b$ positifs, on a $\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{ab}$. Pourquoi ?

Trouver un contre-exemple à $\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$

Valeurs approchées

D’après ce tableau donnant les carrés parfaits, on peut avoir une idée de la valeur approchée de $\sqrt{a}$ en plaçant $a$ au bon endroit dans la colonne de droite et en regardant la correspondance dans la colonne de gauche.

  n | n²
----+----
  0 |  0
  1 |  1
  2 |  4
  3 |  9
  4 | 16
  5 | 25
  6 | 36

C’est en fait l’algorithme de dichotomie, que l’on peut continuer pour obtenir des décimales.

Notez qu’aucun nombre décimal ne peut convenir pour $\sqrt{2}$.

Simplification

En calculant $(2\sqrt{2}{)}^2$ on réalise que $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.

On aurait pu aussi l’expliquer en écrivant :

$$\begin{array}{rl}\sqrt{8}& =\sqrt{2^2\times 2}\\ \sqrt{8}& =\sqrt{2^2}\times \sqrt{2}\\ \sqrt{8}& =2\sqrt{2}\end{array}$$