Variations d'une fonction

Définition

f est croissante sur un intervalle $I$ si pour tous nombres $a$ et $b$ dans $I$ on a : $a \leq b \Rightarrow f (a) \leq f (b)$

Et décroissante si on a : $a \leq b \Rightarrow f (a) \geq f (b)$

Pour montrer qu’une fonction est croissante, on pourra supposer que $a \leq b$ et chercher à montrer que $f (b) - f (a) \geq 0$ .

$f (b) - f (a) = ... = m (b - a)$ donc $f (b) - f (a)$ est du signe de $m$ .

$f (b) - f (a) = ... = (b - a) (b + a)$ donc si $a$ et $b$ sont de même signe, $f (b) - f (a)$ est aussi de ce signe.

$f (b) - f (a) = ... = (b - a) (b^{2} + ab + a^{2})$ donc si $a$ et $b$ sont de même signe, $f (b) - f (a)$ est aussi de ce signe.

L’ensemble de départ est constitué de deux intervalles. On prend $a$ et $b$ de même signe.

$f (b) - f (a) = ... = - \frac{b - a}{ab}$ donc $f (b) - f (a)$ est négatif.